Экспоненциальные функции могут моделировать скорость изменения многих ситуаций, включая рост населения, радиоактивный распад, рост бактерий, сложные проценты и многое другое. Выполните следующие действия, чтобы написать экспоненциальное уравнение, если вы знаете скорость, с которой функция растет или затухает, и начальное значение группы.
Шаги
Метод 1 из 2: использование ставки в качестве основы
Шаг 1. Рассмотрим пример
Предположим, банковский счет открыт с депозита в 1000 долларов, а процентная ставка составляет 3% годовых. Найдите экспоненциальное уравнение, моделирующее эту функцию.
Шаг 2. Знать основную форму
Форма экспоненциального уравнения: f (t) = P0(1 + г)т / ч где P0 - начальное значение, t - временная переменная, r - скорость, а h - число, необходимое для того, чтобы единицы t совпадали со скоростью.
Шаг 3. Вставьте начальное значение для P и ставка на r. У вас будет f (t) = 1000 (1.03)т / ч.
Шаг 4. Найдите h
Подумайте о своем уравнении. Ежегодно деньги увеличиваются на 3%, поэтому каждые 12 месяцев деньги увеличиваются на 3%. Поскольку вам нужно указать t в месяцах, вам нужно разделить t на 12, поэтому h = 12. Ваше уравнение: f (t) = 1, 000 (1.03)т / 12. Если единицы измерения скорости и t приращения одинаковы, h всегда равно 1.
Метод 2 из 2: Использование буквы "е" в качестве основы
Шаг 1. Разберитесь, что такое е
Когда вы используете значение e в качестве основы, вы используете «естественную основу». Использование естественной базы позволяет вывести скорость непрерывного роста непосредственно из уравнения.
Шаг 2. Рассмотрим пример
Предположим, что 500-граммовый образец изотопа углерода имеет период полураспада 50 лет (период полураспада - это время, в течение которого материал разлагается на 50%).
Шаг 3. Знать основную форму
Форма экспоненциального уравнения: f (t) = aekt где a - начальное значение, e - база, k - скорость непрерывного роста, а t - временная переменная.
Шаг 4. Вставьте начальное значение
Единственное значение, которое вам нужно в уравнении, - это начальная скорость роста. Итак, подключите его, чтобы получить f (t) = 500ekt
Шаг 5. Найдите скорость непрерывного роста
Скорость непрерывного роста - это скорость изменения графика в определенный момент. Вы знаете, что через 50 лет образец распадется до 250 граммов. Это можно считать точкой на графике, которую вы можете подключить. Итак, t равно 50. Подключите ее, чтобы получить f (50) = 500e.50 тыс.. Вы также знаете, что f (50) = 250, поэтому подставьте 250 вместо f (50) в левой части, чтобы получить экспоненциальное уравнение 250 = 500e.50 тыс.. Теперь, чтобы решить уравнение, сначала разделите обе части на 500, чтобы получить: 1/2 = e50 тыс.. Затем возьмем натуральный логарифм от обеих частей, чтобы получить: ln (1/2) = ln (e50 тыс.. Используйте свойства логарифмов, чтобы вынуть показатель степени из аргумента натурального логарифма и умножить его на логарифм. Это приводит к ln (1/2) = 50k (ln (e)). Напомним, что ln - это то же самое, что logе и что свойства логарифмов говорят, что если основание и аргумент логарифма совпадают, значение равно 1. Следовательно, ln (e) = 1. Таким образом, уравнение упрощается до ln (1/2) = 50k, и если вы разделите на 50, вы узнаете, что k = (ln (1/2)) / 50. Воспользуйтесь калькулятором, чтобы найти десятичное приближение k, равное примерно -,01386. Обратите внимание, что это значение отрицательное. Если скорость непрерывного роста отрицательная, у вас экспоненциальный спад, если положительный, у вас экспоненциальный рост.
Шаг 6. Подставьте значение k
Ваше уравнение - 500e-.01386т.
подсказки
- Возможно, вы захотите сохранить свое значение k в своем калькуляторе, чтобы вы могли рассчитать свои значения более точно, чем с десятичным приближением. X - это легко доступная переменная для использования, поскольку вам не нужно нажимать «альфа», чтобы добраться до нее, но если вы хотите изобразить уравнение в виде графика, обязательно используйте переменную, обозначенную как константу, или вы добавите дополнительные переменные.
- Вы быстро узнаете, когда использовать каждый метод. Обычно проблемы легче решить с помощью первого метода, но бывают случаи, когда вы знаете, что использование естественной основы облегчит ваши вычисления в дальнейшем.